Начала заниматься теннисом с 10 лет на кортах «Динамо». В 13 лет стала чемпионкой «Динамо» в Риге в младшей возрастной группе.
В 15 лет была взята на сбор первой команды страны.
В 1965 году стала чемпионкой Уимблдонского турнира среди девушек.
В 1965-1966 гг. выиграла чемпионат СССР среди девушек в парном и смешанном разрядах, а в 1967 году – в одиночном разряде.
В начале 1969 года перешла в ЦСКА. Выиграв Всесоюзные соревнования в Ленинграде и летний чемпионат в Ташкенте, она стала первой теннисисткой страны.
Возглавляла всесоюзную классификацию 11 лет, до перехода на тренерскую работу.
22-кратная чемпионка СССР по теннису: в одиночном (1969-1971, 1976, 1980), парном (1969-1973, 1975-1977, 1979-1980), смешанном (1967, 1970-1973, 1975-1976) разрядах, абсолютная чемпионка СССР (1970-1971, 1976).
В 1972-1973 гг. в составе команды ЦСКА стала обладательницей Кубка СССР.
В 1971 году в Болгарии стала абсолютной чемпионкой Европы по теннису, победив во всех трёх разрядах (парном, миксте и одиночном). В целом за годы своей спортивной карьеры на чемпионатах Европы завоевала 22 золотые медали, из них 6 в одиночном разряде.
В 1972 году первой из советских спортсменок дошла до финала турнира первой категории среди профессионалов — на турнире Italian Open.
Пик карьеры пришёлся на 1974 год, когда Морозова впервые в истории советского тенниса играла в одиночных финалах турниров «Большого шлема» – Ролан Гаррос и Уимблдон. В обоих поединках уступила первой ракетке мира американке Крис Эверт. В этом же сезоне в паре с Эверт выиграла Ролан Гаррос.
В 1975 году выходила в финалы парных состязаний на Australian Open и Ролан Гаррос. В Австралии партнером Морозовой была австралийская теннисистка Маргарет Корт. Также выступала на итоговом чемпионате WTA, где заняла итоговое пятое место.
В 1976 году играла в парном финале US Open.
Выступление на международной арене Морозовой закончилось в 1977 году из-за того, что СССР бойкотировал все турниры с участием спортсменов из ЮАР, выражая политический протест против политики апартеида.
В 1980 году выиграла свой последний чемпионат СССР, победив в финале Людмилу Макарову.
В дальнейшем работала тренером с Ларисой Савченко, Светланой Пархоменко, Натальей Зверевой, Натальей Медведевой, Еленой Лиховцевой, Еленой Дементьевой.
Женская сборная СССР под руководством Морозовой дважды входила в финал Кубка Федерации (1988, 1990) и завоевала восемь золотых медалей на чемпионатах Европы.
Стояла у истоков создания Кубка Кремля среди женщин.
