Александр Вениаминович Абушахметов родился 21 июля 1954 года в Бишкеке (Киргизия).
Учился в Кыргызском государственном институте физической культуры.
В 1977 и 1981 годах становился чемпионом СССР по фехтованию на шпагах в индивидуальном первенстве.
На Олимпийских играх 1976 года в Монреале (Канада) в составе сборной СССР занял пятое место в командном зачете шпажистов.
На Московской Олимпиаде 1980 года в составе советской команды завоевал «бронзу».
Многократный призер чемпионатов мира в командном первенстве.
По словам многолетнего тренера сборной СССР Олега Пузанова, Александр Абушахметов обладал «широким арсеналом технико-тактических приемов». Министр спорта Российской Федерации Павел Колобков вспоминал, что Абушахметов «в своё время считался лучшим фехтовальщиком мира, но не имеющим результата».
